1927. március 27-én született Bakuban Msztyiszlav Leopoldovics Rosztropovics orosz gordonkaművész, karmester, a XX. század egyik legkiemelkedőbb előadóművésze.
A mai Azerbajdzsánban látta meg a napvilágot orosz szülők gyermekeként. Csellózni négyévesen kezdett. A Csajkovszkij Konzervatóriumban gordonka, karmester és zeneszerzés szakot végzett, tanárai között volt Dmitrij Sosztakovics és Szergej Prokofjev is.
Rosztropovics másodéves volt, amikor megnyerte a Szovjetunió legrangosabb zenei versenyét, aminek eredményeként rögtön ötödévesként folytathatta a tanulmányait, valamint állami kitüntetésre is felterjesztették. Mindezek ellenére, hogy hivatalosan is megkapja diplomáját, egy külön bizottság előtt kellett levizsgázni a kommunista párt történetéből. Rosztropovics a következőt mondta konzervatóriumi tanárainak: „Nem kell aggódni. Bemegyek a bizottság elé, teszek egy lépést előre, kettőt hátra és megkérdezem, hogy ’mit csináljunk? – sto delaty’?”
Első koncertjét 1942-ben adta, majd a prágai és budapesti nemzetközi zenei versenyeken elért rangos helyezései után, huszonhárom évesen Sztálin-díjjal tüntették ki.
1955-ben feleségül vette Galina Visnyevszkaját, a Bolsoj Színház vezető énekesnőjét. Nemzetközi karrierje az 1964-es nyugat-németországi fellépéssel kezdődött. 1967-ben operakarmesterként debütált. Moszkvában vezényelte Csajkovszkij Anyeginjét.
Rosztropovics egy vacsora alkalmával találkozott leendő feleségével. Bemutatták őket egymásnak, majd Rosztropovics tovább beszélgetett asztaltársaival. Amikor Visnyevszkaja felállt, hogy elhagyja az éttermet, a csellóművész felajánlotta, hogy elkíséri, és még egy cukorkát is adott neki. Mihelyt az utcára értek Msztyiszlav egy gyöngyvirágot áruló nőt látott meg, megvette az egész kosarat és Visnyevszkajának ajándékozta. „Figyelmeztetem, férjnél vagyok” – mondta Visnyevszkaja. „Na, majd meglátjuk. Én figyelmeztettem” – válaszolta Rosztropovics.
Rosztropovics beadta a hivatalos papírokat, hogy feleségül vehesse Galina Visnyevszkaját. Az ügyintéző azonnal felismerte az operacsillag Visnyevszkaja nevét, majd Rosztropovicshoz fordult. „Még most van lehetősége nevet változtatni.”
Alekszandr Szolzsenyicinnel ápolt barátsága miatt 1974-ben elhagyni kényszerült a Szovjetuniót, s az Egyesült Államokba távozott. Szovjet állampolgárságától megfosztották, ő azonban nem választott magának új hazát. Élete végéig hontalan útlevéllel utazott és koncertezett.
A kulturális miniszter figyelmeztette Rosztropovicsot, hogyha fedezi Szolzsenyicint évekig nem fogják külföldre engedni. A csellóművész így reagált a fenyegetésre: „Nem hiszem, hogy büntetés lenne, ha csak a saját honfitársaimnak játszhatnék.”
Prokofjev és Sosztakovics mellett Britten, Penderecki, Hacsaturján, Bernstein és Dutilleux kompozícióit ismertette meg a közönséggel. 1989-ben a berlini fal leomlásakor a falnál adott koncertjével hívta fel magára a figyelmet.
Az ő nevéhez fűződik Sosztakovics sokáig betiltott, majd kényszerből átdolgozott operájának, a Kisvárosi Lady Macbethnek eredeti formában történt újrafelfedezése. Lemezre vette Csajkovszkij három operáját, Prokofjev Háború és békéjét, Muszorgszkij Borisz Godunovját, és Schnittke Élet egy őrülttel című operáját.
Az idős Rosztropovics arra a kérdésre, hogy miért választotta a csellót hangszeréül a következőt válaszolta: „Mert beleszerettem, és azt gondoltam, hogy a cselló szó nem véletlenül nőnemű az oroszban és minden más nyelvben is. Aztán kiderült, hogy a franciában például hímnemű…”
Rendszeres vendége volt Budapestnek. Utolsó koncertjét 2001-ben adta a Liszt Ferenc Kamarazenekarral. 2005-ben a Magyar Köztársaság elnöke a legmagasabb külföldieknek adható kitüntetést, a Köztársasági Érdemrend Középkeresztje a Csillaggal érdemérmet adományozta neki.
